이차함수
y = ax². 외우기 전에 정사각형을 키우고, 공을 던지고, 포물선을 옮기고, 울타리로 밭을 만들어 보세요. 왜 직선이 아니라 휘어지는지, 꼭짓점이 무엇인지 보입니다.
y = ax². 외우기 전에 정사각형을 키우고, 공을 던지고, 포물선을 옮기고, 울타리로 밭을 만들어 보세요. 왜 직선이 아니라 휘어지는지, 꼭짓점이 무엇인지 보입니다.
수업 팁. 변의 길이 x와 넓이 y는 y = x². 변이 1씩 늘 때 넓이는 1, 3, 5, 7…씩 점점 더 많이 늘어서 그래프가 위로 휘어집니다. 일차함수(늘 같은 만큼 증가)와 비교해 보세요. 변이 2배면 넓이는 2² = 4배입니다.
수업 팁. 초속 20 m로 위로 던진 공의 x초 뒤 높이는 약 y = −5x² + 20x (공기 저항 무시). 올라갈수록 느려져서 1초에 15 m, 2초에 20 m. 꼭짓점 (2, 20)이 가장 높은 순간이고, 그래프는 꼭짓점을 지나는 세로선(축)에 대해 좌우가 똑같습니다. 이 그래프는 공이 날아간 길이 아니라 시간에 따른 높이예요.
수업 팁. y = a(x − p)² + q는 y = ax²을 x축 방향으로 p, y축 방향으로 q만큼 옮긴 그래프, 꼭짓점은 (p, q)입니다. (x − 2)²은 x = 2일 때 0이 되니 꼭짓점이 오른쪽 2에 있어요. a가 음수면 아래로 볼록, |a|가 클수록 폭이 좁아집니다.
수업 팁. 울타리 20 m면 가로 + 세로 = 10, 넓이 y = x(10 − x) = −(x − 5)² + 25. 그래프의 꼭짓점 (5, 25)가 가장 넓은 순간, 곧 정사각형입니다. 가로가 5에서 같은 만큼 멀어지면 넓이도 같아요(4 × 6 = 6 × 4). 최댓값은 고등학교에서 더 다룹니다.